空心方阵(空心方阵|百度文库)

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方阵问题——基础学习2、实心方阵例 1：30 人一排的方阵，求最外层有多少人？ 【答案】116 人。 【解题关键点】利用公式四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4，（30-1）×4=116（人）3、实心方阵例 2：20 人一排的方阵共有多少人？ 【答案】400（人）。 【解题关键点】利用公式：实方阵总人(或物)数=每边人(或物)数×每边人(或物)数，20×20=400（人）。5、空心方阵例 1：小华用围棋摆了一个六层的空心方阵,共用 264 颗棋子,问最里层有多少个棋子？( ) A 36 B 24 C 30 D 22【答案】B 【解题关键点】 法一：对于空心方阵，最外层每边数=总数÷4÷层数+层数 最外层每边数=（264÷4÷6）+6=17 人； 共六层，最外一层与最里一层相差 5 层。 每层每边数差两个，所以最里层每边数=17-5×2=7 个 那么最里层个数是 4×7-4=24 个。 法二：方阵每层相差 8 个。那么从里向外数，第二层比第一层多 8 个，第三比第一层多 16 个，第四层比第 一层多 24 个，第五层比第一层多 32 个，第六层比第一层多 40 个； 那么最里一层就是（264-8-16-24-32-40）÷6=24 个6、空心方阵例 2：一个两层空心方阵最外层有 16 人，一共多少人？（）A.16B.24C.10D.22【答案】B【解题关键点】最外层 16 人-四个角 4 人=12 人12÷4=3，即每个边 3 人内层每个边应该比外层少 2 人以占角拐弯，故每个边仅 1 人，加上 4 个角，内层共 8 人综上，内外两层共 24 人总而言之，就是外层每排 5 人，内层每排 3 人，最中间空出一个人位置的两层空心方阵。

7、方阵综合例 1： 方阵外一层总人数比内一层的总人数多 8 每边人数与该层人数关系是：最外层总人数＝（边人数－1）×4 方阵总人数＝最外层每边人数的平方 空心方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4 去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2-1【例 1】某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是 96 人，问这个学校共有学生？ 【答案】625 【解题关键点】解答：最外层每边的人数是 96÷4+1＝25，刚共有学生 25×25=6258、方阵综合例 2：五年级学生分成两队参加学校广播操比赛，他们排成甲乙两个方阵，其中甲方阵每边的人数 等于 8，如果两队合并，可以另排成一个空心的丙方阵，丙方阵每边的人数比乙方阵每边的人数多 4 人，甲方阵 的人数正好填满丙方阵的空心。五年级参加广播操比赛的一共有多少人? （） A 160 B 204 C 100 D 260【答案】D 【解题关键点】设乙最外边每人数为 Y，则丙为 Y+4. 8×8+Y×Y+8×8=(Y+4)(Y+4)， 求出 Y=14,则共有人数：14×14+8×8＝260。9、方阵综合例 3：明明用围棋子摆成一个三层空心方阵，如果最外层每边有围棋子 15 个，明明摆这个方阵最里 层一周共有多少棋子？摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子?【答案】56 个空心方阵，144 个。

【解题关键点】最外层有(15-1)×4=56 个。则里二层为 56-8×2=40 ，应用公式，用棋子（15－3）×3×4 ＝144。 10、方阵综合例 4：学校运动会上，晨光小学组成一个大型方阵队，方阵队最外层每边 25 人，共 8 层；中间部 分是 15 名同学组成的运动会会徽，这个方阵共有多少名同学？ 【答案】 【解题关键点】空心方阵问题总数的公式是：总数=(最外层每边数-层数)*层数*4 11、方阵综合例 5：108 人排成空心方阵，如果最外层每边 12 人，那么共有几层？ 【答案】3（层）。 【解题关键点】可以把相邻两层每边人数想成是一个等差数列，公差是 2（方阵问题中有这样一个知识点， 就是相邻两边每边人数相差 2）。 通过“12×12-108=36 ”计算我们知道了此方阵是中间去掉了 6×6 的空心方阵，那么从每边 12 人排到每边 6 人，通过等差数列求项数《公式是：项数=（末项-首项）÷(公差+1）》的计算我们能求出（12-6）÷2+1=4（层）， 应该是有 4 层，还因为我们已经知道要去掉的是每边 6 人那一层，所以刚才的算式就不用加 1 了，结果就是“（12-6）÷2=3（层）”。

11、方阵综合例 6：国庆阅兵大典，参演学生组成一个方阵，已知方阵由外到内第二层有 120 人，则该方阵共有 学生多少人？（ ）A．625B．841C．1024D．1089【答案】D【解题关键点】方阵由外到内第二层有 120 人，那么最外层有 120+8=128 人，那么每边有（128+4）÷4=33人空心方阵，则整个方阵有 33×33=1089 人。12、方阵综合例 7：某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是 96 人，问这个学校共有学生（ ）。A．600 人B．615 人C．625 人D．640 人【答案】C 【解题关键点】根据方阵问题的基本公式，可知学校共有学生=方阵总人数=（96÷4+1） 2 =625。13、方阵综合例 8：某校参加军训队列表演比赛，组织一个方阵队伍。如果每班 60 人，这个方阵至少要有 4 个 班的同学参加，如果每班 70 人，这个方阵至少要有 3 个班的同学参加。那么组成这个方阵的人数应该为几人？ （）A．169B．196C．225D．256【答案】B【解题关键点】依题意知道方阵数大于 180 小于 210，考虑到方阵人数必须是一个平方数因此只能是 196 人成一个 14×14 的方阵。

空心方阵空心方阵每层有每一层的人数，每层有每一层的边数，相邻两层的层数差 8，相邻两层 的边数差 2，这是空心方阵的特点。弦图空心方阵的总人数=（外层每边人数-层数）*层数*4 （外边每边人数-层数）×层数---表示的是弦图中的一个长方形 ×4---4 个长方形 空心方阵每层有每一层的人数，每层有每一层的边数， 相邻两层的人数差 8，相邻两层的边数差 2，这是空心方阵的特点。 方阵相邻两层人数相差是 8，（60-44）/8=2，说明中间那层往外有 2 层， 则中间那层往里也有 2 层，则一共 2*2+1=5 层， 相邻的层数差 8，5 层人数之和就是 5 个等差数的和，问: 某空心方阵，最外层每边人数 100，层数 5, 求方阵人数。解:总人数=(100-5) ×5×4=1900 人 例题：把人（或物体）排成外面有若干层而中间空出一个正方形，这样排成的图形就是一个空心方阵 （或叫中空方阵），对空心方阵进行计算的问题就是空心方阵问题。下面讨论几个例。 例 1 小华用棋子排了一个三层空心方阵最外面一层每边有 18 个棋子，排这个空心方阵一共用了多少个棋子？ 解：把这个空心方阵如右图分成四部分，每部分是一个每行有棋子 18－3＝15（个），排成3 行的长方形，每个长方形有棋子 15×3＝45（个），排这个空心方阵一共用了棋子 45×4＝180（个）。

答：排这个空心方阵一共用了 180 个棋子。例 2 在一块正方形草地的四周种了 256 棵树，这些树种成为一个空心方阵，其中最外层每边有 20 棵树，这个空心方阵有多少层？解：把这个空心方阵如上例那样分成四个长方形，每个长方形树的棵树是 256÷4＝64 （棵），64＝16×4，而 20＝16＋4，就是说每个长方形为每行有 16 棵，有 4 行，所以这个空心方阵有 4 层。 答：这个空心方阵有 4 层。例 3 一队战士排成每行 12 人，有 12 行的一个实心方阵，如果改排成三层的空心方阵，这个空心 方阵外层每边有多少人？内层每边有多少人？解：这对战士有 12×12＝144（人）。按要求改排成三层的空心方阵，把这个空心方阵分成 同样的四个长方形排成，每个长方形的战士人数为 144÷4＝36（人），36＝3×12，长方形排成 3 行时，每行有 12 人，外层每边有 12＋3＝15（人），内层每边有 15－（3－1）×2＝11（人）。答：外层每边有 15 人，内层每边有 11 人。例 4 一批树苗如果种成一个三层的空心方阵，多了 9 棵树苗；如果在中空部分多种一层，则缺 7 棵树苗，原有树苗多少棵？解：原来的三层空心方阵在中控部分多种一层后，变成为四层空心方阵，其中多种的一层每 边有树苗（7＋9）÷4＋1＝5（棵），最外边一层每边有树苗 5＋2×3＝11（棵），空心方阵共有树苗（11-4）×4×4=112（棵），原有树苗 112－7＝105（棵）。 答：原有树苗 105 棵。

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